*** Volume d'un tétraèdre

L'espace est muni d'un repère orthonormé $(\text{O};\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$ . On considère les points  $\text{A}(-1;-1;0)$ , $\text{B}(6;-5;1)$ , $\text{C}(1;2;-2)$ et $\text{S}(13;37;54)$ .

1. Justifier que les points $\text{A}$ , $\text{B}$ et $\text{C}$ définissent bien un plan.

2. a. Déterminer la nature du triangle $\mathrm{ABC}$ .
    b. Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle $\mathrm{ABC}$ est, en unités d'aire, ${\displaystyle \frac{\sqrt{1122}}{2}}$ .

3. Prouver que les points $\text{A}$ , $\text{B}$ , $\text{C}$ et $\text{S}$ ne sont pas coplanaires.

4. a. Justifier que le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{c}5\\ 16\\ 29\end{array}\right)$ est normal au plan  $(\mathrm{ABC})$ .
    b. En déduire une équation du plan $(\mathrm{ABC})$ .

5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan $(\mathrm{ABC})$ et passant par $\text{S}$ .

6. a. Déterminer par calcul les coordonnées du point $\text{H}$ , projeté orthogonal de $\text{S}$ sur le plan $(\mathrm{ABC})$ .
    b. On admet que $\text{H}(3;5;-4)$ . Déterminer le volume du tétraèdre $\mathrm{SABC}$ .