*** Volume d'un tétraèdre

L'espace est muni d'un repère orthonormé \(\left(\text O~;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}\right)\) . On considère les points  \(\text A(-1~;-1~;~0)\) , \(\text B(6~;-5~;~1)\) , \(\text C(1~;~2~;-2)\) et \(\text S(13~;~37~;~54)\) .

1. Justifier que les points \(\text A\) , \(\text B\) et \(\text C\) définissent bien un plan.

2. a. Déterminer la nature du triangle \(\mathrm{ABC}\) .
    b. Démontrer que la valeur exacte de l'aire du triangle \(\mathrm{ABC}\) est, en unités d'aire, \(\dfrac{\sqrt{1\,122}}{2}\) .

3. Prouver que les points \(\text A\) , \(\text B\) , \(\text C\) et \(\text S\) ne sont pas coplanaires.

4. a. Justifier que le vecteur \(\overrightarrow n \begin{pmatrix} 5\\16\\29 \end{pmatrix}\) est normal au plan  \(\mathrm{(ABC)}\) .
    b. En déduire une équation du plan \(\mathrm{(ABC)}\) .

5. Déterminer une représentation paramétrique de la droite perpendiculaire au plan \(\mathrm{(ABC)}\) et passant par \(\text S\) .

6. a. Déterminer par calcul les coordonnées du point \(\text H\) , projeté orthogonal de \(\text S\) sur le plan \(\mathrm{(ABC)}\) .
    b. On admet que \(\text H(3~;~5~;-4)\) . Déterminer le volume du tétraèdre \(\mathrm{SABC}\) .